Дугорочна конвергенција: закон великих бројева у рулету
Како се просек устаљује ка −2,70% и зашто то траје дуже него што интуиција налаже.
Просечан губитак по спину конвергира ка −1/37 како се спинови гомилају, а расипање се смањује као 1/√Н. После 1.000 спинова на црвено просек је обично у границама ±3% од свог очекивања.
Закон великих бројева
Текући просек независних опклада тежи очекиваној вредностиматематикаОчекивана вредностПросечан резултат по опклади на дуге стазе. −1/37 улога за сваку стандардну европску опкладу.Прочитај цео текст →. После Н спинова на просту шансу са улогом од једне јединиценовацЈединицаОсновни улог у којем рачуна систем или играч. Прогресије се описују у јединицама да би важиле за сваким столом.Прочитај цео текст →, просечан резултат по спину има очекивање −1/37 и стандардну девијацијуматематикаСтандардна девијацијаКвадратни корен варијансе; типична удаљеност резултата од очекиване вредности.Прочитај цео текст → 1/√Н. За Н = 100 то расипање износи 10% улога, скоро четири пута више од сигнала од 2,7%. За Н = 1.000 износи 3,2%, отприлике колико и сигнал. За Н = 10.000 износи 1%, и предност се јасно види. Предност је невидљива у једној сесији, а непогрешива у току једне године.
Шта конвергира, а шта не
Просек по спину конвергира. Укупан износ не: он се све више удаљава од нуле како Н расте, у очекивању за око 2,7% од Н, са расипањем од √Н око те вредности. За играча који је одиграо 10.000 спинова по $10 очекује се да буде у минусу $2.700, плус-минус $1.000. Текући удео црвенихопкладаЦрвеноПроста шанса на 18 црвених бројева. Француски: роуге.Прочитај цео текст → одавно се усталио близу 48,65%; текуће стање се није усталило нигде.
- п10 −$440
- п25 −$280
- медијана −$140
- п75 +$0
- п90 +$140
Зашто интуиција заказује
Људи очекују да се предност брзо покаже јер 2,70% звучи као много, и очекују да се дуги низови „изравнају“ јер закон великих бројеваматематикаЗакон великих бројеваПросек независних резултата конвергира ка очекиваној вредности како број опита расте.Прочитај цео текст → каже да просеци конвергирају. Обе интуиције погрешно процењују размеру: предност је мала у односу на варијансуматематикаВаријансаМера тога колико се широко резултати расипају око очекиване вредности. Висока за један број, ниска за просте шансе.Прочитај цео текст → једног спина (σ = 1 јединица, а EV = 0,027), па је потребно (1/0,027)² ≈ 1.400 спинова да постане видљива на нивоу једне сигме. А конвергенција просека нимало не враћа укупан износ назад; она само разблажује раније осцилације.
Конвергенција код других опклада
За опкладе на један бројопкладаЈедан бројЈедан једини број, исплаћује 35:1.Прочитај цео текст → (страигхт уп) σ = 5,84, па исти рачун даје (5,84/0,027)² ≈ 47.000 спинова да предност достигне једну сигму. Играч који игра на један број може да игра годинама а да се предност у његовим сопственим белешкама не разликује од среће, иако плаћа тачно истих 2,70% као играч на црвено који је уочи у року од неколико недеља.
Шта то значи за тестирање система
Свако ко тврди да неки систем ради требало би да то покаже на 10.000 или више спинова, са документованим позитивним просеком. На 1.000 спинова позитиван просек на простој шанси је, под нултом хипотезом, догађај који се дешава једном од пет пута; на 100 спинова то је скоро бацање новчића. Симулатори на овом сајту за секунду одиграју 2.000 сесија дужине коју изаберете, што је више доказа од било каквог сведочанства.
Формула
Питања
ВероватноћаматематикаВероватноћаКолико је неки исход могућ, од 0 до 1 или од 0% до 100%. Један број: 1/37 = 2,70%.Прочитај цео текст → да ћете икада поново бити у плусу пада ка нули како играте. Укупан износ клизи наниже без границе.
Не. Значи да раније осцилације постају све мањи део све већег узорка.
За просту шансу, око 10.000 пре него што се предност јасно види. За један број, око 50.000.
Математика из забаве
Прво покушајте сами. Свако решење је склопљено; отворите га када будете спремни.
Два пријатеља играју 20 рунди праведне игрематематикаПраведна играИгра у којој ниједна страна нема предност: свака опклада има очекивану вредност нула.Прочитај цео текст →, бацање новчића или црвеноопкладаЦрвеноПроста шанса на 18 црвених бројева. Француски: роуге.Прочитај цео текст → против црногопкладаЦрноПроста шанса на 18 црних бројева. Француски: ноир.Прочитај цео текст →, при чему се улози враћају када падне нулаточакНулаЈедини зелени џеп који не покрива ниједна проста шанса ни опклада на туце или колону; извор предности куће. Такође: једна нула, 0.Прочитај цео текст →, и воде текући резултат. Пребројте рунде током којих је сваки од њих у вођству (нерешено се рачуна ономе ко је водио непосредно пре тога). Шта је вероватније: да се вођство подели 10 рунди према 10 или да један пријатељ води свих 20?
Прикажи решење
Одговор Много је вероватније да један пријатељ води свих 20 рунди: 35,2%, рачунајући било ког од њих, према 6,1% за равномерну поделу 10 према 10.
Вероватноћа да је праведан текући резултат изједначен после 2к рунди је у = Ц(2к, к)/2²ᵏ: 0,246 после 10 рунди и 0,176 после 20. Класичан резултат, закон аркус синуса, каже да је вероватноћа да један одређени пријатељ води тачно 2к од 2н рунди у(2к) × у(2н − 2к).
Вођство свих 20 рунди: у(20) × у(0) = 0,176 за сваког пријатеља, 35,2% за било ког. Равномерна подела: у(10) × у(10) = 0,246² = 6,1%, најмање вероватна подела од свих.
Дакле, у праведној игри вођство ретко мења страну. Играч који је цело вече у плусу, или цело вече у минусу, није видео ништа необично, и то ништа не говори ни о точку ни о вештини. Епстеин (2013) даје исти закон за дуже игре: у половини случајева срећнија страна води више од 85% игре.
За предах
Просек конвергира. Укупан износ једноставно одлази.
Извори
- Берноулли, Ј. Арс Цоњецтанди.
- Феллер, W. Ан Интродуцтион то Probability Theory анд Итс Апплицатионс, Вол. 1.