Задатак: лимит стола
Систем Мартингале са основним улогом од $10 за столом са лимитом од $500. Колико често пуца, колико губи када пукне и да ли виши лимит помаже?
Шест узастопних губитака га ломи: 1,8% по циклусу, око 60% сесија од 100 спинова. Лом кошта $630. Подизање лимита на $5.000 чини лом ређим (0,25% по циклусу) и већим ($5.110). Очекивани губитак по уложеном долару је 2,70% при сваком лимиту.
Задатак
Играч улаже $10 на црвеноопкладаЦрвеноПроста шанса на 18 црвених бројева. Француски: роуге.Прочитај цео текст → и дуплира улог после сваког губитка, а после добитка се враћа на почетни улог. Максимум стола је $500. (а) Колико узастопних губитака ломи прогресијустратегијаПрогресијаСвако правило које мења улог на основу претходних резултата. Негативне прогресије га повећавају после губитака, позитивне после добитака.Прочитај цео текст →? (б) Колика је вероватноћаматематикаВероватноћаКолико је неки исход могућ, од 0 до 1 или од 0% до 100%. Један број: 1/37 = 2,70%.Прочитај цео текст → тога по циклусу? (ц) Шта се губи при лому? (д) Како лимит од $5.000 мења одговоре? (е) Да ли иједан лимит чини систем профитабилним?
Решења (а)–(ц)
Улози: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Седми би био 640 > 500, па га шест губитака ломи. (б) п(губитак) = 19/37 на црвено; (19/37)⁶ = 0,0183, око 1,8% по циклусу. Циклус траје у просеку око два спина, па сесија од 100 спинова има отприлике 50 циклуса и п(бар један лом) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (ц) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, што је 63 основне јединиценовацЈединицаОсновни улог у којем рачуна систем или играч. Прогресије се описују у јединицама да би важиле за сваким столом.Прочитај цео текст →, наспрам $10 које је циклус покушавао да добије.
Решење (д)
Уз $5.000: дозвољени су улози до 2.560; десети улог, 5.120, одбија се. Девет губитака га ломи: (19/37)⁹ ≈ 0,25% по циклусу, око 11% сесија од 100 спинова. Губитак при лому: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Играч је купио ређу катастрофу по цени веће. Током много сесија очекивани трошак ломова је п × губитак ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 по циклусу при лимиту од $500 и 0,0025 × 5.110 = $12,8 при $5.000; то је, у границама заокруживања, исти број, и то је очекивани губитакматематикаОчекивани губитакОчекивана вредност помножена укупно уложеним износом; просечан износ изгубљен током сесије или периода.Прочитај цео текст → циклуса увећан за $10 које доносе добитни циклуси.
Решење (е)
Не. Очекивани губитак по циклусу = (очекивани укупни улог у циклусу) / 37, при било ком лимиту, јер је свака опклада −1/37 сопственог износа. Лимит само одређује како се губитак распоређује између много малих добитака и мало великих губитака. Без лимита и са бесконачним банкроломновацБанкролУкупан износ одвојен за игру. Управљање банкролом значи одлучити колики његов део ризикујете по опклади и по сесији.Прочитај цео текст → прогресија би „функционисала“, у смислу да никада не би пукла, али би такође уложила неограничен износ, са очекиваним губитком од 2,70% тог неограниченог износа. Није лимит столастоЛимит столаНајмања и највећа дозвољена опклада. Максимум је оно што зауставља прогресије са удвостручавањем.Прочитај цео текст → оно што спречава систем МартингалестратегијаМартингалеПрогресија која удвостручује опкладу после сваког губитка. У одељку Стратегија погледајте шта она чини, а шта не.Прочитај цео текст → да функционише. Спречава га аритметика.
Два стварна стола
Тхорпов пример је сто од $1 са максимумом од $1.000, за којим играч жели да, долар по долар, добије $30 за вечеру. Улози 1, 2, 4 … 512 дозвољавају десет опклада, па десет узастопних губитака ломи прогресију: једном у 785 циклуса на европском точку (једном у 613 на америчком), уз трошак од $1.023. Свих тридесет циклуса успе у 96,2% случајева. У преосталих 3,8% губи се око $1.000, а просечан резултат вечери је −$9,17, што је тачно 1/37 од $339 које тридесет циклуса у просеку уложи. Сто од $5 са максимумом од $2.000 није ништа другачији: улози до $1.280 дозвољавају девет опклада, а лом долази једном у 403 циклуса на европском точку (једном у 323 на америчком) и кошта $2.555.
Богат играч
Дајте прогресији дубок банкрол уместо ниског лимита: 1.000 јединица, основни улог од једне јединице и 1.000 спинова на црвено, уз повратак на једну јединицу кад год је следеће дуплирање веће од онога што је остало. Симулирали смо милион таквих вечери. На европском точку 52% заврши у плусу, 21% изгуби све, а просечан резултат је −124 јединице. Чак и у игри без нулеточакНулаЈедини зелени џеп који не покрива ниједна проста шанса ни опклада на туце или колону; извор предности куће. Такође: једна нула, 0.Прочитај цео текст →, где је свака опклада праведна, само око 60% би завршило у плусу. Уобичајено вече је мали добитак; просек плаћају вечери које се заврше на нули.
Поука
Казина постављају лимите да би ограничила сопствену варијансуматематикаВаријансаМера тога колико се широко резултати расипају око очекиване вредности. Висока за један број, ниска за просте шансе.Прочитај цео текст →, а не да би поразила системе. Пораз система Мартингале је споредни ефекат који им је драг, а аритметика би га ионако поразила. Играч који мисли да је лимит проблем пронашао је литицу и заменио је за падину.
Формула
Питања
Омогућава вам да преживите до вишег лимита, где је лом ређи и већи. Очекивани губитак по долару је непромењен.
Улози 10, 30, 70, 150, 310: лимит од $500 достиже се после пет губитака, а лом кошта $570. Истих 2,70%.
Да један играч не би могао да уложи више него што резерве казина могу без тешкоћа да исплате. Управљање варијансом.
Математика из забаве
Прво покушајте сами. Свако решење је склопљено; отворите га када будете спремни.
Систем МартингалестратегијаМартингалеПрогресија која удвостручује опкладу после сваког губитка. У одељку Стратегија погледајте шта она чини, а шта не.Прочитај цео текст → почиње са $100 на црвеноопкладаЦрвеноПроста шанса на 18 црвених бројева. Француски: роуге.Прочитај цео текст → и допушта себи највише н опклада по циклусу: после н узастопних губитака одустаје и почиње испочетка. Напишите просечан резултат једног циклуса као формулу по н и израчунајте га за 5, 6 и 7 опклада на европском точку.
Прикажи решење
Одговор Просек је 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 за 5 опклада, −$17,35 за 6 и −$20,52 за 7. Дозвољавање више опклада чини просечан циклус горим, а не бољим.
Циклус добија $100 осим ако свих н опклада изгуби, што се дешава са вероватноћом qⁿ, где је q = 19/37. Када све изгубе, улози 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ сабирају се у 100 × (2ⁿ − 1). Дакле просек је 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Овде је 2q = 38/37, нешто више од 1, па (2q)ⁿ расте са н, а просек опада: н = 5 даје 1,1426 и −$14,26; н = 6 даје 1,1735 и −$17,35; н = 7 даје 1,2052 и −$20,52. Дужа лествица ређе губи, у 3,6%, 1,8% и 0,9% циклуса, али је сваки губитак двоструко већи, а преко стола у сваком циклусу пређе више новца, уз 2,70% од сваке опкладе.
На америчком точку 2q = 40/38, а бројке су −$29,24, −$36,04 и −$43,20 (Taylor, 2021). У игри без нулеточакНулаЈедини зелени џеп који не покрива ниједна проста шанса ни опклада на туце или колону; извор предности куће. Такође: једна нула, 0.Прочитај цео текст → 2q = 1 и сваки циклус у просеку даје тачно нулу, ма колико лествица била дуга.
„Велики Мартингале“ (гранд Мартингале) удвостручује улог после губитка и додаје једну јединицуновацЈединицаОсновни улог у којем рачуна систем или играч. Прогресије се описују у јединицама да би важиле за сваким столом.Прочитај цео текст →, па улози иду 1, 3, 7, 15, 31 … Колико сте у плусу када први добитак дође у 1., 2., 3. или к-тој опклади? При јединици од $10 и максимуму од $500, колико често циклус пукне и колико циклус у просеку кошта?
Прикажи решење
Одговор Добитак у к-тој опклади оставља вас к јединица у плусу: +1, +2, +3 и тако даље. При $10 и $500 циклус пуца после пет губитака, у 3,57% циклуса, за −$570. У просеку циклус губи $2,32 од $85,73 уложених: 2,70%.
к-ти улог је 2ᵏ − 1 јединица: 1, 3, 7, 15, 31. Првих к − 1 улога сабира се у 2ᵏ − 2 − (к − 1) = 2ᵏ − к − 1. Добитак у к-тој опклади доноси 2ᵏ − 1, па се циклус завршава (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − к − 1) = к јединица у плусу: једна додатна јединица за сваки губитак пре добитка.
При $10 по јединици улози су $10, $30, $70, $150 и $310; следећи, $630, прелази максимум од $500. Пет узастопних губитака, (19/37)⁵ = 3,57%, кошта 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Просек: добици доносе $10 × к са вероватноћом (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 за к = 1 до 5, а пуцање односи $570 са вероватноћом 3,57%; заједно −$2,32. Уложени новац у просеку износи $85,73 по циклусу, а 2,32/85,73 = 2,70%. Обични систем Мартингале за истим столом пуца после шест губитака, у 1,83% циклуса, за −$630, и губи $1,74 од $64,20 уложених: опет 2,70%.
Играч планира систем Мартингале на црвено са првом опкладом од $1 за столом чији је лимит $1.000, па је могуће десет опклада: $1, $2, $4 и тако даље до $512. Колико често циклус изгуби свих десет, колико то у просеку траје и колико често се вече од 200 опклада тако заврши?
Прикажи решење
Одговор Циклус изгуби свих десет отприлике једном у 784, што кошта $1.023. То је у просеку око 1.600 опклада, а вече од 200 опклада удари у зид у око 11% случајева. Циклус и даље у просеку губи $0,31 од $11,31 уложених: 2,70%.
Опклада на црвено губи са вероватноћом 19/37, укључујући нулу. Десет заредом: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, око 1 од 784. Улози 1 + 2 + 4 + … + 512 сабирају се у $1.023.
Циклус у просеку траје 2,05 опклада, па 784 циклуса трају око 1.600 опклада. Рачунато спин по спин, низ од десет губитака појави се негде у 200 опклада у 11,3% случајева.
Између катастрофа играч добија $1 по циклусу: око $783 пре лошег циклуса, затим −$1.023, око −$240 за цео период. По циклусу: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Уложени новац по циклусу: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. А −0,31/11,31 = −2,70%.
Упоредите прву опкладу од $10 при лимиту од $500, шест опклада: зид долази једном у 55 циклуса, а вече од 200 опклада удари у њега у 84% случајева. Виши лимит чини крах ређим и већим, а не јефтинијим.
За предах
Ређе и веће, при сваком лимиту. Производ је константан.
Извори
- Етхиер, С. Н. Тхе Доцтрине оф Цханцес: Пробабилистиц Аспецтс оф Гамблинг.
- Тхорп, Е. О. „Оптимал гамблинг systems фор фаворабле гамес.“
- Тхорп, Е. О. Тхе Матхематицс оф Гамблинг.
- Епстеин, Р. А. Тхе Theory оф Гамблинг анд Статистицал Логиц, 2нд ед.