Задатак: рођендански точак
Колико спинова треба пре него што се неки број понови? Много мање него што већина људи претпоставља.
Проблем рођендана на точку са 37 џеповаопремаЏепЈедно од 37 нумерисаних удубљења на ротору. Такође: преградак, чашица.Прочитај цео текст →: већ после 8 спинова вероватноћа да се неки број појавио два пута већа је од једне половине. Играчи понављања читају као обрасце; она су очекивано понашање исправног точка.
Задатак
Вртите исправан европски точак. После колико спинова вероватноћаматематикаВероватноћаКолико је неки исход могућ, од 0 до 1 или од 0% до 100%. Један број: 1/37 = 2,70%.Прочитај цео текст → да су бар два спина дала исти број прелази једну половину? Већина играча погађа негде око 18 или 19, половину од 37. Одговор је 8.
Решење
Израчунајте вероватноћу да нема понављања и одузмите је од јединице. После к спинова п(сви различити) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − к)/37). За к = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, па је п(неко понављање) ≈ 0,56. За к = 14 износи 0,93; за к = 20 износи 0,996. Интуиција заказује јер број парова спинова расте као к², а сваки пар може да се поклопи.
Зашто је то важно за столом
Екран са резултатима са последњих 20 бројева скоро увек показује бар једно понављање, често два или три. Играчи виде „17 је пало два пута у десет спинова“ и закључују да је 17 врућ број; рачун рођендана каже да се понављање у року од десет спинова дешава у 74% случајева и да је број који се поновио случајан. Образац је стваран; значење није.
Наставак задатка
Колико спинова треба док се одређени број, рецимо 17, не појави два пута? То је друго питање, са много већим одговором: очекивано чекање је 74 спина, а вероватноћа да 17 падне два пута у 20 спинова износи око 10%. Разлика између „неки број се понавља“ (8 спинова) и „овај број се понавља“ (74 спина) јесте цела разлика између обрасца који приметите накнадно и предвиђања које дате унапред.
Испробајте
Покрените Демо игру на десет спинова и погледајте историју. Обично ће бити једно понављање. Покрените је поново. Поновљени број биће другачији. Урадите то десет пута и видели сте проблем рођенданаматематикаПроблем рођенданаКолико је људи потребно да двоје вероватно има исти рођендан, или колико спинова пре него што се неки број вероватно понови. На точку са 37 џепова 8 спинова је довољно за шансу бољу од једнаке.Прочитај цео текст →; урадите то хиљаду пута (симулатори то могу) и измерили сте га.
Формула
Питања
Управо то, са 37 џепова уместо 365 дана. 23 особе дају 50% за рођендане; 8 спинова даје 56% за точак.
50% после око 19 спинова. И даље рутина.
Не. Хиљаде спинова са једног точка могле би да укажу; једно понављање никада.
Математика из забаве
Прво покушајте сами. Свако решење је склопљено; отворите га када будете спремни.
Екран са резултатима поред америчког точка показује последњих 16 спинова. Колико је вероватно да се ниједан број на њему не појави два пута?
Прикажи решење
Одговор Око 2,5%: отприлике 39 екрана од 40 показује бар једно понављање.
Идите спин по спин. Први спин може да буде било шта. Други мора да га промаши: 37 од 38. Трећи мора да промаши оба: 36 од 38. Шеснаести мора да промаши петнаест бројева: 23 од 38.
Помножите: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Екран без понављања је онај редак. Екран са понављањем не говори ништа о точку.
Колика је вероватноћа да у десет спинова европског точка 17 падне тачно пет пута? Да неки број, било који, падне пет или више пута? И да неки број падне бар три пута у четири спина?
Прикажи решење
Одговор 17 тачно пет пута: 1 од 315.576. Неки број пет или више пута: око 1 од 8.333. Неки број три или више пута у четири спина: 1 од 349.
Број 17 пет пута: изаберите којих пет од десет спинова, 252 начина, сваки са вероватноћом (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Заједно, 1 од 315.576.
Неки број: сваки од 37 бројева има вероватноћу 1 од 308.325 за пет или више погодака, што даје 37 од 308.325, односно 1 од 8.333. Ретки случај два броја са по пет погодака рачуна се двапут, али његово уклањање не мења ништа при овој прецизности.
Три пута у четири спина: за један број, 4 × 36 + 1 = 145 од 37⁴ могућих резултата; за било који од 37 бројева, 145/37³ = 1 од 349.
За точак са две нулеточакНулаЈедини зелени џеп који не покрива ниједна проста шанса ни опклада на туце или колону; извор предности куће. Такође: једна нула, 0.Прочитај цео текст → одговарајући бројеви су 1 од 359.275, 1 од 9.243 и 1 од 368. Разлика између „17“ и „неког броја“ поново је проблем рођенданаматематикаПроблем рођенданаКолико је људи потребно да двоје вероватно има исти рођендан, или колико спинова пре него што се неки број вероватно понови. На точку са 37 џепова 8 спинова је довољно за шансу бољу од једнаке.Прочитај цео текст →: постоји 37 начина да се изненадите.
За предах
Нешто се рано понови. То нешто је случајно.
Извори
- Феллер, W. Ан Интродуцтион то Probability Theory анд Итс Апплицатионс, Вол. 1.
- Wizard оф Оддс. „Аск тхе Wizard“, питања о рулету.