Ризик од пропасти
Вероватноћа да изгубите цео банкрол пре него што стигнете до циља.
За просте шансе ризик од пропасти следи формулу пропасти коцкара. Са банкролом (новцем одвојеним за игру) од $500, опкладама од $10 и циљем од $600, до циља стижете у око 57% случајева, а у осталима остајете без новца.
Питање
Имате а јединицановацЈединицаОсновни улог у којем рачуна систем или играч. Прогресије се описују у јединицама да би важиле за сваким столом.Прочитај цео текст → банкролановацБанкролУкупан износ одвојен за игру. Управљање банкролом значи одлучити колики његов део ризикујете по опклади и по сесији.Прочитај цео текст → и желите да стигнете до а + б јединица, улажући по једну јединицу на просту шансуопкладаПроста шансаЦрвено/црно, непарно/парно, високо/ниско. 18 бројева, исплаћује 1:1.Прочитај цео текст → са вероватноћомматематикаВероватноћаКолико је неки исход могућ, од 0 до 1 или од 0% до 100%. Један број: 1/37 = 2,70%.Прочитај цео текст → добитка п = 18/37 и вероватноћом губитка q = 19/37. Колика је вероватноћа да стигнете до циља пре него што стигнете до нуле? Одговор су израчунали Пасцал, Фермат и Huygens педесетих година 17. века, и то је један од најстаријих резултата теорије вероватноће.
Формула пропасти коцкара
П(достизање циља) = (1 − (q/п)ᵃ) / (1 − (q/п)ᵃ⁺ᵇ). Ризик од пропастиматематикаРизик од пропастиВероватноћа да се изгуби цео банкрол пре него што се достигне циљ или задати број спинова.Прочитај цео текст → је један минус то. Са q/п = 19/18 ≈ 1,0556 тај однос расте експоненцијално са бројем јединица, па формула сурово кажњава мале јединице: што више опклада треба до циља, то се више пута успут плати такса од 2,70%.
Како то читати
Мање јединице шкоде. Покушај да се $500 удвостручи опкладама од $10 успева у 6% случајева; једном опкладом од $500 успева у 48,6% случајева. Смела игра, мање опклада а веће, максимизује вероватноћу достизања циља у игри са негативним очекивањем, јер минимизује број пута када се предност примени. Она такође максимизује варијансуматематикаВаријансаМера тога колико се широко резултати расипају око очекиване вредности. Висока за један број, ниска за просте шансе.Прочитај цео текст → онога што вам се дешава и брзо завршава вече. Теорема се зове „смела игра је оптимална“, а доказали су је Дубинс и Саваге 1965. године.
Где је проблем почео
Питање је старије од рулета. Године 1656. Пасцал је Фермату поставио загонетку: два играча бацају три коцкице и сваки почиње са 12 жетона; збир 11 помера један жетон у једном смеру, а збир 14 у другом. Обојица су је решила, а Huygens, који је за њу чуо из писма математичара Пиерреа де Царцавија, објавио ју је 1657. као пети задатак прве књиге о вероватноћи, са одговором и без доказа. Збир једанаест може да се баци на 27 начина, а четрнаест само на 15, па се сваки жетон помера у корист првог играча 9 пута од 14, а формула изнад, са по 12 жетона, чини га око 1.157 пута вероватнијим да добије све него да изгуби све. Предност од 2,70% је далеко мања, али иста формула показује шта она чини током много опклада.
Права смела опклада
У априлу 2004. Ashley Ревелл, млади Енглез, продао је скоро све што је имао, укључујући одећу, и однео $135.300 у казино Плаза у Лас Вегасу. После неколико малих опклада уложио је цео износ на црвеноопкладаЦрвеноПроста шанса на 18 црвених бројева. Француски: роуге.Прочитај цео текст →, једном. КуглицаопремаКуглицаМала кугла која се убацује у стазу супротно од смера ротора. Савремене куглице су од ајворина или тефлона, 18–21 мм.Прочитај цео текст → је пала на црвени 7 и он је изашао са $270.600. На точку са две нулеточакНулаЈедини зелени џеп који не покрива ниједна проста шанса ни опклада на туце или колону; извор предности куће. Такође: једна нула, 0.Прочитај цео текст → тај један спин имао је вероватноћу од 47,37% и коштао га је у просеку $7.121, што је предност од 5,26% на једну опкладу. Распоређен на опкладе од $10, исти циљ био би готово безнадежан. Смела игра не чини опкладу добром; чини је што краћом.
Ризик од пропасти без циља
Ако једноставно играте док не останете без новца или станете после Н спинова, питање постаје „колика је вероватноћа да мој банкрол дотакне нулу у оквиру Н спинова?“. За опште Н нема затвореног облика, али симулатори на овом сајту то рачунају: банкрол од $500 уз $10 на црвено готово никада не пропадне за 100 спинова (мање од 1%), пропадне у око 9% случајева за 500 спинова и у око 95% за 5.000. Без правила заустављања вероватноћа тежи ка 100%, што је дугорочна верзија предности кућематематикаПредност кућеДео сваког улога који казино у просеку задржава: 2,70% у европском рулету.Прочитај цео текст →.
- п10 −$500
- п25 −$500
- медијана −$500
- п75 +$0
- п90 +$350
Колико дуго и колико у плусу
Још два класична резултата одговарају на питања која играчи заиста постављају. Без циља, опкладе сталним улогом на просте шансе трају у просеку 37 спинова по јединици банкрола на европском точку и 19 на америчком, јер сваки спин у просеку узме 1/37 јединице (1/19 на америчком точку): 100 јединица траје у просеку 3.700 спинова, иако се половина таквих сесија заврши у оквиру 3.134 (погледајте страницу Трајање и цена сесије). И колико год банкрол био велик, вероватноћа да на европском точку икада будете к јединица у плусу је (18/19)ᵏ. То је 95% за једну јединицу и 58% за десет, али ниједан банкрол, колико год дубок, не даје изгледе пола-пола да икада будете 13 јединица у плусу; на америчком точку вероватноћа је (9/10)ᵏ и пада испод половине на 7 јединица.
Банкрол за изгледе пола-пола
Окрените питање: колико морате да донесете да бисте имали бар изгледе пола-пола да добијете одређени износ пре него што изгубите све? За мали добитак, не много. За већи потребан банкрол стрмо расте, а после неке тачке ниједан банкрол није довољан, јер чак и бесконачан даје мање од изгледа пола-пола да икада будете толико у плусу. Taylor (2021) то каже другачије: на америчком точку, да бисте имали изгледе пола-пола да стигнете до 100 јединица, морате да почнете са 94, ризикујући 94 да бисте добили 6. На европском точку било би вам потребно 88.
Практична поука
Одлучите шта покушавате да постигнете. Ако је циљ одређени добитак, улажите крупно и мало пута. Ако је циљ дуго вече, улажите ситно и прихватите да ће предност узети својих 2,70% од великог прометановацПрометУкупно уложени износ током сесије или периода, рачунајући и поново уложене добитке. Такође: хандле, ацтион.Прочитај цео текст →. Ако је циљ обоје, нешто мора да попусти, а то је обично циљ.
Формула
Питања
Систем МартингалестратегијаМартингалеПрогресија која удвостручује опкладу после сваког губитка. У одељку Стратегија погледајте шта она чини, а шта не.Прочитај цео текст → га смањује за кратке сесије и драстично повећава за дуге. Стални улог (флат беттинг)стратегијаСтални улогУлагање истог износа у сваком спину. Основа са којом се пореди свака прогресија.Прочитај цео текст → са већом јединицом је поштен начин да се он смањи.
Формула изнад важи за просте шансе. Код опклада са великом варијансом пропаст је вероватнија при малим улозима, а до циља се стиже неравномерније; користите калкулатор.
Сваки корак ка циљу мало је мање вероватан од сваког корака ка пропасти; однос се умножава кроз број корака.
Математика из забаве
Прво покушајте сами. Свако решење је склопљено; отворите га када будете спремни.
Имате $100 и желите $1.000, а улажете само на црвеноопкладаЦрвеноПроста шанса на 18 црвених бројева. Француски: роуге.Прочитај цео текст →. Први план: улажете по $1. Други план: улажете све што имате док не пређете $500, а затим тачно онолико колико треба да дођете до $1.000. Који је план бољи и за колико?
Прикажи решење
Одговор Други план, убедљиво. Он долази до $1.000 у око 9,0% случајева, близу праведних 10%. Први план успева отприлике 7 пута у 10²².
У праведној игриматематикаПраведна играИгра у којој ниједна страна нема предност: свака опклада има очекивану вредност нула.Прочитај цео текст → дошли бисте од $100 до $1.000 једном у десет случајева шта год радили, јер просечна вредност вашег новца остаје $100.
Предност куће узима 2,70% сваке опкладе, па што мање укупно уложите, то сте ближе једном од десет. Други план решава ствар у неколико опклада: $100 постаје $200, $400, $800, а затим је довољно $200. Успева у око 9,0% случајева. Први план траје хиљадама опклада пре него што се шетња заврши, а предност куће, мала на свакој од њих, сабира се у готово сигурну пропаст.
То је резултат Дубинс–Саваге у најједноставнијем облику (Епстеин, 2013): у игри која иде у корист куће уложите онолико колико вам треба, што мање пута.
Имате $500 и желите $1.000, а престајете чим их имате. Бирате једну врсту опкладе и понављате је док једном не добије или док новац не нестане. Која врста даје највећу вероватноћу?
Прикажи решење
Одговор Једна опклада од $500 на црвено: 48,6%. Сваки план који новац распоређује на мање опкладе пролази лошије.
Изаберите сваки улог тако да је један добитак довољан: $30 на један бројопкладаЈедан бројЈедан једини број, исплаћује 35:1.Прочитај цео текст → доноси $1.050, $60 на сплитопкладаСплитДва суседна броја, исплаћује 17:1.Прочитај цео текст → доноси $1.020 и тако даље. Затим израчунајте вероватноћу да бар једна опклада добије пре него што новац нестане. Шеснаест опклада од $30 на један број промаше све са вероватноћом (36/37)¹⁶ = 64,5%, па до $1.000 долазе у 35,5% случајева.
Табела приказује сваку опкладу. Црвено пролази најбоље јер стиже до циља једном опкладом, па се предност куће плаћа једном, на $500. Дупла улицаопкладаДупла улицаШест бројева у два суседна реда, исплаћује 5:1. Француски: sixain.Прочитај цео текст → је друга јер су јој потребне само три. Једна опклада на туцеопкладаТуце1–12, 13–24 или 25–36, исплаћује 2:1.Прочитај цео текст → је најгора, са вероватноћом 12/37; чак и када се игра у јединицамановацЈединицаОсновни улог у којем рачуна систем или играч. Прогресије се описују у јединицама да би важиле за сваким столом.Прочитај цео текст → од $250 док не имате $1.000 или више, туце стиже до циља само у 46,4% случајева.
Боллман (2024) прави исту табелу за амерички точак. У његовом реду за туце поткрала се грешка: треба да пише 12/38 = 31,6%.
опкладаулог × број опкладавероватноћа да се дође до $1.000Један број$30 × 1635,5%Сплит$60 × 835,9%Улица$90 × 534,5%Угао$125 × 436,7%Дупла улица$166, $166, $16841,2%Туце$500 × 132,4%Црвено$500 × 148,6%Улажете једну јединицу на црвено, спин за спином, са банкроломновацБанкролУкупан износ одвојен за игру. Управљање банкролом значи одлучити колики његов део ризикујете по опклади и по сесији.Прочитај цео текст → који никад не нестаје. После првог спина сте једну јединицу у плусу или у минусу. Колика је вероватноћа да ћете икада поново бити тачно на почетном стању?
Прикажи решење
Одговор 36 од 37, 97,3%. На америчком точку то је 36 од 38, 94,7%.
Ако први спин добије (18 пута од 37), једну јединицу сте у плусу, а предност куће вуче наниже сваку бесконачну сесију, па ћете пре или касније поново проћи кроз почетно стање: то је сигурно. Ако изгуби (19 пута од 37), морате да се попнете за једну јединицу, а вероватноћа да ћете икада бити једну јединицу у плусу је 18/19 (погледајте табелу изнад).
Заједно: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Уопштено, вероватноћа је 1 минус разлика између вероватноће да се спин добије и да се изгуби: 1 − 1/37 на европском точку, 1 − 2/38 на америчком. У игри без нулеточакНулаЈедини зелени џеп који не покрива ниједна проста шанса ни опклада на туце или колону; извор предности куће. Такође: једна нула, 0.Прочитај цео текст → разлика је нула, а вероватноћа 1: резултат се увек враћа на почетно стање. Епстеин (2013) даје опште правило.
Пасцалов задатак из 1656: два играча бацају три коцке, а сваки почиње са 12 жетона. Сваки збир 11 пребацује један жетон првом играчу, сваки збир 14 један другом; остала бацања се не рачунају. Колика је вероватноћа да први играч освоји сва 24? А ако уместо тога улажете по 1 јединицу на црвено у сваком спину против пријатеља који држи банку, са по 12 јединица, колика је вероватноћа да ћете освојити све 24?
Прикажи решење
Одговор Први играч побеђује око 1.157 пута од 1.158. Ви, на црвеном, освајате све 24 јединице само у око 34% случајева.
Три коцке дају 11 на 27 начина, а 14 на 15 начина, па сваки жетон који се помери иде првом играчу 27 пута од 42, односно 9 пута од 14. Када свака страна почиње са 12, вероватноћа да се узме све је 1/(1 + р¹²), где је р однос вероватноће друге стране и ваше.
За првог играча р = 5/9, а (5/9)¹² ≈ 0,00086, па је вероватноћа око 0,99914: изгледи 9¹² према 5¹², односно 282.429.536.481 према 244.140.625, око 1.157 према 1. Huygens је објавио управо те бројеве 1657. године.
На црвеном је р = 19/18 због нуле, а (19/18)¹² ≈ 1,913: ваша вероватноћа је 1/2,913 ≈ 34,3%. Новчић би дао 50%. Предност куће од 2,70% на свакој опклади сабира се, кроз мноштво опклада које су потребне, у разлику од 16 процентних поена.
За предах
Смела игра је оптимална. И брзо се заврши.
Извори
- Феллер, W. Ан Интродуцтион то Probability Theory анд Итс Апплицатионс, Вол. 1.
- Епстеин, Р. А. Тхе Theory оф Гамблинг анд Статистицал Логиц, 2нд ед.
- Taylor, Д. Г. Гамес, Гамблинг, анд Probability: Ан Интродуцтион то Матхематицс, 2нд ед.
- Царцави, П. де. Писмо Huygensu, 28. септембра 1656, о проблему који је Пасцал поставио Фермату.
- Huygens, Ц. Де Ратиоциниис ин Лудо Алеае.
- Етхиер, С. Н. Тхе Доцтрине оф Цханцес: Пробабилистиц Аспецтс оф Гамблинг.
- Реутерс. “Бритон бетс ит алл он роулетте спин, анд wins.”
- Лас Вегас Сун. “Ман wagers лифе’с worth.”